24春-第8次习题课（场论基础）

1场论基础

1.1 坐标变换

1. Einstein求和约定

在求和式中，求和指标即哑指标，其余不被求和的指标称为自由指标. 这些指标具有以下性质：

1.
哑指标可以替换为任意其他字母，例如在矩阵乘法中，

$(A B)_{ij} = k \sum A_{ik} B_{k j} = l \sum A_{i l} B_{l j} .$
(1.1)
2.
若 $A$ 反对称、 $S$ 对称，即 $A_{ij} = - A_{j i}, S_{ij} = S_{j i}$ ，则 $i, j \sum A_{ij} S_{ij} = 0$ .

Einstein求和约定为：若同一指标在同一单项式中重复出现，则默认对其求和，例如矩阵乘法中，

(A B)_{ij} = k \sum A_{ik} B_{k j} Einstein 求和约定 A_{ik} B_{k j} .

(1.2)

2. Kronecker符号与Levi-Civita符号

Kronecker符号定义为

δ_{ij} = {1, i = j, 0, i \neq = j,

(1.3)

其性质有

δ_{ii} = 3, A_{ij} δ_{j k} = A_{ik}, A_{ij} δ_{ij} = A_{ii} = tr (A) .

(1.4)

Levi-Civita符号定义为

ε_{ij k} = ⎩ ⎨ ⎧ + 1, (i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1) or (3, 1, 2), - 1, (i, j, k) = (1, 3, 2), (2, 1, 3) or (3, 2, 3), 0, otherwise .

(1.5)

其性质有

1.
完全反对称： $ε_{ij k} = ε_{j k i} = ε_{k ij} = - ε_{ik j} = - ε_{k j i} = - ε_{j ik}$ .
2.
$3 \times 3$ 矩阵的行列式：

$ε_{ij k} A_{i l} A_{j m} A_{k n} = ε_{ij k} A_{l i} A_{mj} A_{nk} = ε_{l mn} det (A) .$
(1.6)
3.
$ε_{ij k} ε_{k l m} = δ_{i l} δ_{j m} - δ_{im} δ_{j l}$ （相当重要的公式！）.

3. 右手直角坐标系

1.
基矢： $x^_{i} (i = 1, 2, 3)$ ，满足

$正交： x^_{i} \cdot x^_{j} = δ_{ij}, 右手： x^_{i} \times x^_{j} = ε_{ij k} x^_{k}} ⟹ (x_{i} \times x^_{j}) \cdot x^_{k} = ε_{ij k} .$
(1.7)
2.
坐标： $x_{i} = r \cdot x^_{i}$ .
3.
位矢： $r = x_{i} x^_{i} = (r \cdot x^_{i}) x^_{i}$ .

4. 转动变换

1.
新、旧基矢间的关系：

$x^_{i}^{'} = (x^_{i}^{'} \cdot x^_{j}) x^_{j} = R_{ij} x^_{j},$
(1.8)
2.
新、旧坐标间的关系：

$x_{i}^{'} = r \cdot x^_{i}^{'} = (x_{j} x^_{j}) \cdot x^_{i}^{'} = R_{ij} x_{j} .$
(1.9)

若新坐标系亦为右手直角系，则

δ_{ij} = x^_{i}^{'} \cdot x^_{j}^{'} = (R_{ik} x^_{k}) \cdot (R_{j l} x^_{l}) = δ_{k l} R_{ik} R_{j l} = R_{ik} R_{k l} = (R R^{T})_{ij},

(1.10)

ε_{ij k} = (x^_{i}^{'} \times x^_{j}^{'}) \cdot x^_{k}^{'} = [(R_{i l} x^_{l}) \times (R_{j m} x^_{m})] \cdot (R_{k n} x^_{n})

= ε_{l mn} R_{i l} R_{j m} R_{k n} = ε_{ij k} det (R),

(1.11)

因此要求旋转矩阵 $R$ 为一行列式为 $+ 1$ 的正交矩阵.

1.2 场的微分

1. 梯度算子

梯度算子（或称Nabla算子）定义为

\nabla = x^_{i} \partial_{i}

(1.12)

其同时具有一阶线性微分算子的性质（满足Leibniz法则、链式法则）与矢量算子的性质.

2. 场的一阶导数

标量场 $φ$ 的梯度定义为

\nabla φ = x^_{i} \partial_{i} φ

(1.13)

矢量场的梯度、散度、旋度分别定义为

\nabla A = x^_{i} x^_{j} (\partial_{i} A_{j}), \nabla \cdot A = \partial_{i} A_{i}, \nabla \times A = x^_{i} (ε_{ij k} \partial_{j} A_{k}) .

(1.14)

特别地，对于三维空间中的位矢 $r$ ，记其模长 $r = ∣ r ∣$ ，则有

\nabla r = \frac{r}{r} = Δ r^, \nabla r = I \leftrightarrow, \nabla \cdot r = 3, \nabla \times r = 0,

(1.15)

其中 $I \leftrightarrow$ 为二阶单位张量，在三维空间中可理解为 $3 \times 3$ 的单位矩阵.

3. Leibniz法则

1.
$\nabla (φ ψ) = ψ \nabla φ + φ \nabla ψ$ .
2.
$\nabla (A \cdot B) = A \cdot \nabla B + B \cdot \nabla A + A \times \nabla B + B \times \nabla A$ .
3.
$\nabla (φ A) = (\nabla φ) A + φ \nabla A$ . $\nabla \cdot (φ A) = A \cdot \nabla φ + φ \nabla \cdot A$ . $\nabla \times (φ A) = (\nabla φ) \times A + φ \nabla \times A$ .
4.
$\nabla (A \times B) = (\nabla A) \times B - (\nabla B) \times A$ . $\nabla \cdot (A \times B) = (\nabla \times A) \cdot B - (\nabla \times B) \cdot A$ . $\nabla \times (A \times B) = (\nabla \cdot B + B \cdot \nabla) A - (\nabla \cdot A + A \cdot \nabla) B$ .

其中第二式非常特殊，不能直接用Leibniz法则理解（否则会漏掉后两项旋度项）.

这里不采用定义严格证明，而是通过Leibniz法则半说明以帮助理解记忆公式.

\nabla \times (φ A) = \nabla_{φ} (φ \times A) + \nabla_{A} (φ \times A)

= (\nabla_{φ} φ) \times A + φ \times (\nabla_{A} \times A)

= (\nabla φ) \times A + φ \nabla \times A,

(1.16)

\nabla \cdot (A \times B) = \nabla_{A} \cdot (A \times B) + \nabla_{B} \cdot (A \times B)

= B \cdot (\nabla_{A} \times A) - \nabla_{B} \cdot (B \times A)

= (\nabla \times A) \cdot B - (\nabla \times B) \cdot A,

(1.17)

其中 $\nabla_{φ}, \nabla_{A}, \nabla_{B}$ 分别表示只作用在 $φ, A, B$ 上的Nabla算子.

4. 链式法则

若标量场 $φ = φ (f)$ 、矢量场 $A = A (f)$ ，其中 $f = f (r)$ ，则

\nabla φ = φ^{'} \nabla f, \nabla A = A^{'} \nabla f, \nabla \cdot A = A^{'} \cdot \nabla f, \nabla \times A = A^{'} \times \nabla f .

(1.18)

特别地，

\nabla f (r) = f^{'} (r) r^, \nabla \times [f (r) r^] = 0.

(1.19)

5. 场的二阶导数

1.
恒等式：

$\nabla \times \nabla φ = 0, \nabla \cdot (\nabla \times A) = 0.$
(1.20)
2.
Laplace算子：

$\nabla^{2} = \nabla \cdot \nabla = \partial_{i} \partial_{i} .$
(1.21)

6. Taylor展开¹

1.
单变量函数：

$φ (x + δ) = n = 0 \sum \infty \frac{φ ^{(n)} ( x )}{n !} δ^{n} = [n = 0 \sum \infty \frac{1}{n !} (δ \frac{d}{d x})^{n}] φ = exp (δ \frac{d}{d x}) φ .$
(1.22)
2.
标量场：

$φ (r + δ) = exp (δ_{1} \partial_{i}) exp (δ_{2} \partial_{2}) exp (δ_{3} \partial_{3}) φ = exp (δ_{i} \partial_{i}) φ = exp (δ \cdot \nabla) φ$
$= [1 + δ \cdot \nabla + \frac{1}{2} (δ \cdot \nabla)^{2} + \dots] φ .$
(1.23)

特别地，原点附近微分中值定理可利用梯度算符简写为

$f (r) - f (0, 0) = r \cdot \nabla f (θ r), θ \in (0, 1) .$
(1.24)

1.3 场的积分

1. 梯度积分的基本定理

考虑任一梯度场² $\nabla ■$ 在曲线 $L$ 上的积分， $L$ 的起点与终点分别为 $P, Q$ ，则

\int_{L} d l \cdot \nabla ■ = ■ ∣ P^{Q} .

(1.25)

例如对于标量场 $φ$ 与 $A \cdot B$ ，其结果分别为

\int_{L} d l \cdot \nabla φ = φ (Q) - φ (P), \int_{L} d l \cdot \nabla (A \cdot B) = A \cdot B P^{Q} .

(1.26)

对于向量场 $A$ ，其结果为

\int_{L} d l \cdot \nabla A = A (Q) - A (P) .

(1.27)

2. 散度积分的基本定理

考虑任一散度场 $\nabla \cdot ■$ 在区域 $Ω$ 内的积分，则

\int_{Ω} d V \nabla \cdot ■ = \int_{\partial Ω} d σ \cdot ■ .

(1.28)

1.
记 $c$ 为常矢量，分别令 $■ = φ c, A \times c$ ，可得

$\int_{Ω} d V \nabla φ = \int_{\partial Ω} d σ φ, \int_{Ω} \nabla \times A = \int_{\partial Ω} d σ \times A .$
(1.29)

特别地， $\int_{\partial Ω} d σ = 0$ .
2.
Green恒等式.
1. (a).
  Green第一公式：令 $■ = φ \nabla ψ$ ，可得
  
  $\int_{Ω} d V [φ \nabla^{2} ψ + \nabla φ \cdot \nabla ψ] = \int_{\partial Ω} d σ \cdot φ \nabla ψ = \int_{\partial Ω} d σ φ \frac{\partial ψ}{\partial n} .$
  (1.30)
2. (b).
  Green第二公式：令 $■ = φ \nabla ψ - ψ \nabla φ$ ，可得
  
  $\int_{Ω} d V [φ \nabla^{2} ψ - ψ \nabla^{2} φ] = \int_{\partial Ω} d σ \cdot (φ \nabla ψ - ψ \nabla φ) = \int_{\partial Ω} d σ (φ \frac{\partial ψ}{\partial n} - ψ \frac{\partial φ}{\partial n}) .$
  (1.31)

3. 旋度积分的基本定理

考虑任一旋度场 $\nabla \times ■$ 在曲面 $Σ$ 上的积分，则

\int_{Σ} (d σ \times \nabla) \cdot ■ = \int_{\partial Σ} d l \cdot ■ .

(1.32)

1.4 正交曲线坐标系³

1. 正交曲线坐标系

在空间中一组曲线坐标系 $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ 中，空间线元可写为

d r = α = 1 \sum 3 \frac{\partial r}{\partial u _{α}} d u_{α} = α = 1 \sum 3 (h_{α} d u_{α}) u_{α},

(1.33)

对比后两个等号的表达式可定义Lame系数 $h$ 与坐标基矢 $u_{α}$

h_{α} = \frac{\partial r}{\partial u _{α}}, u_{α} = \frac{1}{h _{α}} \frac{\partial r}{\partial u _{α}} .

(1.34)

对于柱坐标， $h_{ρ} = 1, h_{φ} = ρ, h_{z} = 1$ ；对于球坐标， $h_{r} = 1, h_{θ} = r, h_{φ} = r sin θ$ .

2. 场的梯度

由于

d φ = \nabla φ \cdot d r = α = 1 \sum 3 (\nabla φ)_{α} h_{α} d u_{α} = α = 1 \sum 3 \frac{\partial φ}{\partial u _{α}} d u_{α},

(1.35)

因此

(\nabla φ)_{α} = \frac{1}{h _{α}} \frac{\partial φ}{\partial u _{α}} ⟹ \nabla = α = 1 \sum 3 \frac{u ^ _{α}}{h _{α}} \frac{\partial}{\partial u _{α}} .

(1.36)

3. 正交曲线坐标系中的重要矢量公式

正交曲线坐标系中的坐标基矢 $u^_{α}$ 满足以下关系：

\nabla u_{α} = \frac{u ^ _{α}}{h _{α}}, \nabla \times \frac{u ^ _{α}}{h _{α}} = 0, \nabla \cdot \frac{h _{α} u ^ _{α}}{H} = 0,

(1.37)

其中 $H = h_{1} h_{2} h_{3}$ . 对于柱坐标系，

\nabla = ρ^\frac{\partial}{\partial ρ} + φ^\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial φ} + z^\frac{\partial}{\partial z} .

(1.38)

对于球坐标系，

\nabla = r^\frac{\partial}{\partial r} + θ^\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial θ} + φ^\frac{1}{r sin θ} \frac{\partial}{\partial φ} .

(1.39)

证明

1.
由定义可证明 $\nabla u_{α} = u^_{α}$ .
2.
利用场的二阶导数的恒等式

$\nabla \times \nabla u_{α} = \nabla \times \frac{u ^ _{α}}{h _{α}} = 0.$
(1.40)
3.
记 $H = h_{1} h_{2} h_{3}$ ，则

$\nabla u_{1} \times \nabla u_{2} = \frac{u ^ _{1}}{h _{1}} \times \frac{u ^ _{2}}{h _{2}} = \frac{h _{3} u ^ _{3}}{H}$
$= \nabla \times (u_{1} \nabla u_{2}) - u_{1} (\nabla \times \nabla u_{2}) = \nabla \times (u_{1} \nabla u_{2}),$
(1.41)

因此 $\nabla \cdot (h_{3} u^_{3} / H) = 0$ ，即 $\nabla \cdot (h_{α} u^_{α} / H) = 0$ .

4. 场的散度

利用式(1.37)与梯度的定义可得

\nabla \cdot A = α = 1 \sum 3 \nabla \cdot (A_{α} u_{α}) = α = 1 \sum 3 \nabla (\frac{H A _{α}}{h _{α}} \cdot \frac{h _{α} u ^ _{α}}{H}) = \frac{1}{H} α = 1 \sum 3 h_{α} u^_{α} \cdot \nabla (\frac{H A _{α}}{h _{α}})

= \frac{1}{H} α = 1 \sum 3 h_{α} u^_{α} \cdot β = 1 \sum 3 \frac{u ^ _{β}}{h _{β}} \frac{\partial}{\partial u _{β}} (\frac{H A _{α}}{h _{α}}) = \frac{1}{H} α \sum \frac{\partial}{\partial u _{α}} (\frac{H A _{α}}{h _{α}}),

(1.42)

其中已利用坐标基矢正交的条件： $u^_{α} \cdot u^_{β} = δ_{α β}$ . 对于柱坐标系，

\nabla \cdot A = \frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ} (ρ A_{ρ}) + \frac{1}{ρ} \frac{\partial A _{φ}}{\partial φ} + \frac{\partial A _{z}}{\partial z} .

(1.43)

对于球坐标系，

\nabla \cdot A = \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} A_{r}) + \frac{1}{r sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (sin θ A_{θ}) + \frac{1}{r ^{2} sin θ} \frac{\partial A _{φ}}{\partial φ} .

(1.44)

5. 场的旋度

利用式(1.37)与梯度的定义可得

\nabla \times A = β = 1 \sum 3 \nabla \times (A_{β} u^_{β}) = β = 1 \sum 3 \nabla (h_{β} A_{β}) \times \frac{u ^ _{β}}{h _{β}} = α, β = 1 \sum 3 (u^_{α} \times u^_{β}) \cdot \frac{1}{h _{α} h _{β}} \frac{\partial ( h _{β} A _{β} )}{\partial u _{β}}

= \frac{1}{H} α, β, γ = 1 \sum 3 ε_{α β γ} h_{γ} \frac{\partial ( h _{β} A _{β} )}{\partial u _{α}} u^_{γ} = \frac{1}{H} h_{1} u^_{1} h_{2} u^_{2} h_{3} u^_{3} \frac{\partial}{\partial u _{1}} \frac{\partial}{\partial u _{2}} \frac{\partial}{\partial u _{3}} h_{1} A_{1} h_{2} A_{2} h_{3} A_{3} .

(1.45)

6. 场的Laplace算子

利用散度的定义式(1.42)可得

\nabla^{2} φ = \nabla \cdot \nabla φ = α = 1 \sum 3 \nabla \cdot (\frac{u ^ _{α}}{h _{α}} \frac{\partial φ}{\partial u _{α}}) = \frac{1}{H} α = 1 \sum 3 \frac{\partial}{\partial u _{α}} (\frac{H}{h _{α}^{2}} \frac{\partial φ}{\partial u _{α}})

(1.46)

对于柱坐标系，

\nabla^{2} ψ = \frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ} (ρ \frac{\partial ψ}{\partial ρ}) + \frac{1}{ρ ^{2}} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial φ ^{2}} + \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial z ^{2}}

= \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial ρ ^{2}} + \frac{1}{ρ} \frac{\partial ψ}{\partial ρ} + \frac{1}{ρ ^{2}} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial φ ^{2}} + \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial z ^{2}} .

(1.47)

对于球坐标系，

\nabla^{2} ψ = \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial ψ}{\partial r}) + \frac{1}{r ^{2} sin θ} \frac{\partial}{\partial r} (sin θ \frac{\partial ψ}{\partial θ}) + \frac{1}{r ^{2} sin ^{2} θ} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial φ ^{2}}

= \frac{1}{r} \frac{\partial ^{2} ( r ψ )}{\partial r ^{2}} + \frac{1}{r ^{2} sin θ} \frac{\partial}{\partial r} (sin θ \frac{\partial ψ}{\partial θ}) + \frac{1}{r ^{2} sin ^{2} θ} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial φ ^{2}} .

(1.48)

1.5 Dirac- $δ$ 函数

1. 一维 $δ$ 函数

对于行为良好⁴的函数 $φ (x)$ ，一维Dirac- $δ$ 函数及其 $n$ 阶导定义为

\int_{- \infty}^{+ \infty} δ (x - a) φ (x) d x = φ (a), \int_{- \infty}^{+ \infty} δ^{(n)} (x - a) φ (x) d x = (- 1)^{n} φ^{(n)} (a),

(1.49)

其中 $(- 1)^{n}$ 可理解为对于 $δ$ 函数“偶函数”的性质.

注

实际上， $δ$ 函数并非通常意义上的函数，数学上将其称为“分布”，分布 $F$ 是由其对任意行为良好的函数 $φ (x)$ 的作用 $F {φ}$ 定义的. 分布的导数 $\partial_{x} F$ 仍是一个分布，定义为 $(\partial_{x} F) {φ} = - F {\partial_{x} φ}$ . 通常的函数 $f (x)$ 其实也可以视为一个分布 $F$ ： $F {φ} = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) φ (x) d x$ .

2. $δ$ 函数的基本性质⁵

1.
量纲： $[δ (x)] = [x]^{- 1}$ .
2.
$f (x) δ (x - a) = f (a) δ (x - a)$ .
3.
$x^{n} δ (x) = 0, x δ^{'} (x) = - δ (x)$ .
4.
若 $f (x)$ 只有若干单零点⁶ ${x_{n}}$ ，则

$δ (f (x)) = n \sum \frac{δ ( x - x _{n} )}{∣ f ^{'} ( x _{n} ) ∣} .$
(1.50)

特别地， $δ (a x) = δ (x) / ∣ x ∣$ ，当 $a = - 1$ 时 $δ (- x) = δ (x)$ ，即 $δ$ 函数具有类似偶函数的性质.

3. $δ$ 函数的形式定义与渐进行为

形式上， $δ$ 函数可表述为

\int_{- \infty}^{+ \infty} δ (x - x_{0}) = 1, and δ (x - x_{0}) = 0 when x \neq = x_{0} .

(1.51)

$δ$ 函数也可以视为普通函数系的极限，即 $δ (x) = n \to \infty lim f_{n} (x)$ 或 $δ (x) = ε \to 0^{+} lim f_{ε} (x)$ . 例如分别对函数 $f_{n} (x) = n e^{- n^{2} x^{2}} / π, f_{n} (x) = sin n x / π x, f_{ε} (x) = ε / π (x^{2} + ε^{2})$ 作图，可以得到如图1所示的图线.

4. Heaviside阶跃函数

阶跃函数定义为 $Θ (x) = {1, 0, x > 0, x < 0,$ 其与 $δ$ 函数的关系为

Θ (x) = \int_{- \infty}^{x} δ (ξ) d ξ ⟹ δ (x) = \frac{d Θ ( x )}{d x} .

(1.52)

5. 三维 $δ$ 函数

三维 $δ$ 函数的定义与一维情形类似：

\int_{Ω_{total}} δ^{(3)} (r - a) d^{3} r = φ (a), \int_{Ω_{total}} [\partial_{i} δ^{(3)} (r - a)] φ (r) d^{3} r = - \partial_{i} φ (a),

(1.53)

其中 $Ω_{total}$ 为全空间，其性质有

1.
量纲为 $L^{- 3}$ .
2.
$f (r) δ^{(3)} (r - a) = f (a) δ^{(3)} (r - a)$ .
3.
$x_{i} δ^{(3)} (r - a) = x_{i} x_{j} δ^{(3)} (r), x_{i} \partial_{j} δ^{(3)} (r) = - δ_{ij} δ^{(3)} (r)$ .
4.
若 $f (r)$ 仅有一个简单零点 $a$ ，则 $δ^{(3)} (f (x)) = δ^{(3)} (r - a) / ∣ det [\partial_{i} f (a)] ∣$ .

6 $^{*}$ . 平方反比矢量场

最重要的结论是

\int_{\partial Ω} d σ \cdot \frac{r ^}{r ^{2}} = 4 π ⟹ \nabla \cdot \frac{r ^}{r ^{2}} = 4 π δ^{(3)} (r),

(1.54)

其中 $Ω$ 为任一包含原点的区域，由此可导出

\nabla \frac{r ^}{r ^{2}} = \frac{I \leftrightarrow - 3 r ^ r ^}{r ^{3}} + \frac{4 π δ ^{(3)} ( r )}{3} I \leftrightarrow .

(1.55)

整合的结论如下：

\nabla \frac{1}{r} = - \frac{r ^}{r ^{2}}, \nabla^{2} \frac{1}{r} = - \nabla \cdot \frac{r ^}{r ^{2}} = - 4 π δ^{(3)} (r), \nabla \times \frac{r ^}{r ^{2}} = 0.

(1.56)

1.6 Helmholtz定理

若已知矢量场 $F$ 的散度 $\nabla \cdot F$ 和旋度 $\nabla \times F$ ，则矢量场 $F$ 唯一确定，且可以表示为

F = - \nabla φ + \nabla \times A = - \nabla (\frac{1}{4 π} \int_{Ω} d V^{'} \frac{\nabla ^{'} \cdot F ^{'}}{r - r ^{'}}) + \nabla \times (\frac{1}{4 π} \int_{Ω} d V^{'} \frac{\nabla ^{'} \times F ^{'}}{r - r ^{'}}) .

(1.57)

1.7 选做练习

1.
证明恒等式

$(\nabla \times B) \times B = \nabla \cdot (B B - \frac{1}{2} B^{2} I \leftrightarrow) - (\nabla \cdot B) B .$
(1.58)
2.
证明恒等式

$r \cdot (\nabla \times B) \times B = \nabla \cdot [(B B - B^{2} I \leftrightarrow /2) \cdot r] + B^{2} /2,$
(1.59)

其中 $r$ 为位置矢量， $\nabla \cdot B = 0$ .
3.
设电荷是局域分布的（为什么？），试由

$E (r) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \int d V^{'} \frac{ρ ( r ^{'} ) R ^}{R ^{2}} where R = r - r^{'}$
(1.60)

证明：

$\nabla \cdot E (r) = \frac{ρ ( r )}{ε}, \nabla \times E (r) = 0.$
(1.61)
4.
1. (a).
  已知
  
  $φ (r) = - E \cdot r, A = \frac{1}{2} B \times x,$
  (1.62)
  
  验证： $φ (r)$ 是均匀静电场 $E$ 的标量势，而 $A$ 是均匀静磁场 $B$ 的矢量势.
2. (b).
  由 $E = - \nabla φ - \partial_{t} A$ 和 $B = \nabla \times A$ 直接计算证明，任意电磁场的电磁势可以取为如下形式：
  
  $φ (t, r) = - r \cdot \int_{0}^{1} E (t, λ r) d λ, A = - \int_{0}^{1} λ r \times B (t, λ r) d λ .$
  (1.63)
  
  注
  可以先证明对于任意矢量场 $F$ 有
  
  $\frac{d F ( λ r )}{d λ} = \frac{1}{λ} (r \cdot \nabla) F (λ r) .$
  (1.64)

2作业选讲

1.
(11.5.2 (3)) 求引力场 $F = - k m r / r^{3}$ 通过光滑闭曲面 $Σ$ 外侧的通量，其中质点 $m$ 在 $Σ$ 上.
2.
(11.5.3) 设区域 $V$ 是由曲面 $x^{2} + y^{2} - z^{2} /2 = 1$ 及平面 $z = 1, z = - 1$ 围成的， $S$ 为 $V$ 的全表面外侧. 又设 $v = (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{- 3/2} (x i + y j + z k)$ ，求积分 $\iint_{S} v \cdot d S$ .
3.
(Ch11.5) 设 $S (t)$ 是平面 $x + y + z = t$ 被球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 截下的部分，且

$F (x, y, z) = 1 - (x^{2} + y^{2} + z^{2}) .$
(2.1)

求证：当 $∣ t ∣ ⩽ 3$ 时，有

$\iint_{S (t)} F (x, y, z) d S = \frac{π}{18} (3 - t^{2})^{2} .$
(2.2)
4.
(Ch11.6) 设 $f (t)$ 在 $∣ t ∣ ⩽ a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 上连续，证明：

$∭_{x^{2} + y^{2} + z^{2} ⩽ 1} f (\frac{a x + b y + cz}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}) d x d y d z = \frac{2 π}{3} \int_{- 1}^{1} f (a^{2} + b^{2} + c^{2} t) d t .$
(2.3)

3教材习题

1.
(Ch11.4) （Poisson公式）设 $S : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ ， $f (t)$ 是 $R$ 上的连续函数，求证：

$\iint_{S} f (a x + b y + cz) d S = 2 π \int_{- 1}^{1} f (a^{2} + b^{2} + c^{2} t) d t .$
(3.1)

解
考虑从 $(x, y, z)$ 到 $(u, v, w)$ 的线性正交变换，其中 $a^{2} + b^{2} + c^{2} u = a x + b y + cz$ ，那么 $u^{2} + v^{2} + w^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ . 在 $O uv w$ 系中取 $u$ 为 $z$ 轴，作球坐标变换可得

$LHS = \int_{0}^{π} f (cos θ a^{2} + b^{2} + c^{2}) \cdot 2 π sin θ d θ$
$= t = c o s θ 2 π \int_{- 1}^{1} f (a^{2} + b^{2} + c^{2}) d t = RHS .$
(3.2)
2.
(Ch11.8) 设 $f (x, y)$ 在 $B ˉ (P_{0}, R)$ 上有二阶连续偏导数且满足Laplace方程

$\nabla^{2} f = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 0.$
(3.3)

求证：对 $0 ⩽ r ⩽ R$ ，有 $f (P_{0}) = \frac{1}{2 π r} \int_{L} f (x, y) d s$ ，其中 $P_{0} = (x_{0}, y_{0})$ ， $L$ 是以 $P_{0}$ 为圆心、 $r$ 为半径的圆.

证明
参考Ch11.10的证法.
3.
(Ch11.9) 设 $D$ 是平面上光滑闭曲线 $L$ 所围成的区域， $f (x, y)$ 在 $D ˉ$ 上有二阶连续偏导数且满足Laplace方程

$\nabla^{2} f = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 0.$
(3.4)

求证：若 $f (x, y)$ 不是常数，则它在 $D ˉ$ 上的最大值和最小值都只能在 $L$ 上取到.

证明
采用反证法. 若 $f (x, y)$ 的最大值 $M$ 在 $D$ 内某点 $P_{0}$ 取到，则由Ch11.8的结论，

$M = f (P_{0}) = \frac{1}{2 π r} \int_{L} f (P) d s ⩽ \frac{1}{2 π r} \int_{L} M d s = M,$
(3.5)

等号成立当且仅当对于 $\forall P \in L$ ，均有 $f (P) \equiv M$ . 由于 $r$ 可以任意取到，因此在点 $P_{0}$ 的任意邻域 $U (P_{0}, ε)$ 内，均有 $f (P) \equiv M$ . 类似地，对 $\partial U (P_{0}, ε)$ 上的任一点 $P$ ，在其任意邻域 $U (P, ε^{'})$ 内也有 $f (P) \equiv M$ . 依此类推，可证明在整个 $D$ 上均有 $f (P) \equiv M$ ，这与 $f$ 不是常数矛盾，因此假设不成立， $f$ 的最大值只能在 $L$ 上取到. 最小值类似可证.
4.
(Ch11.10) 设 $f (x, y, z)$ 在 $B ˉ (P_{0}, R)$ 上有二阶连续偏导数且满足

$Δ f = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2} f}{\partial z ^{2}} = 0.$
(3.6)

求证：对 $0 ⩽ r ⩽ R$ ，有 $f (P_{0}) = \frac{1}{4 π r ^{2}} \iint_{S} f (x, y, z) d S$ ，其中 $P_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ， $S$ 是以 $P_{0}$ 为球心、 $r$ 为半径的球面.

证明
记球面上一点 $P = (x, y, z)$ ，则 $P_{0} P ⟶ = Δ r = r r^$ ，因此 $\frac{d f}{d r} = r^\cdot \nabla f$ . 记 $B (r)$ 为以 $P_{0}$ 为球心、半径为 $r$ 的球域，那么

$\iint_{S} \frac{\partial f}{\partial r ^} d S = \iint_{S} r^\cdot \nabla f d S = ∭_{B (r)} \nabla f \cdot d S = Gauss 定理 \iint_{B (r)} \nabla^{2} f d V = 0$
$= \iint_{\partial B (r)} \frac{d f}{d r} d S = r^{2} \iint_{\partial B (1)} \frac{d f}{d r} d S = r^{2} \frac{d}{d r} \iint_{\partial B (1)} f d S,$
(3.7)

因此

$4 π f (P_{0}) = \iint_{\partial B (1)} f (P_{0}) d S = \iint_{\partial B (1)} f (P) d S = \frac{1}{r ^{2}} \iint_{\partial B (r)} f (P) d S,$
(3.8)

整理得 $f (P_{0}) = \frac{1}{4 π r ^{2}} \iint_{S} f (P) d S$ ，结论得证.

4真题集萃

1.
(17-18期末 $T_{7}$ ) 设曲面

$S = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, z > 0},$
(4.1)

它的定向与 $z$ 轴正向同侧，设

$f (x, y) = \frac{1 + z}{1 + x ^{2} + y ^{2}}, g (x, y) = x y + y z + z x .$
(4.2)

求积分 $\iint_{S} \nabla f \times \nabla g \cdot d S$ .

解
注意到

$\nabla \cdot (\nabla f \times \nabla g) = \nabla g \cdot (\nabla \times \nabla f) - \nabla f \cdot (\nabla \times \nabla g) = 0,$
(4.3)

构造 $x O y$ 平面上的有向曲面 $D : x^{2} + y^{2} ⩽ 1$ ，其方向沿 $+ z$ 方向，因此 $S + D^{-}$ 构成法向向外的闭曲面，其中 $D^{-}$ 为与 $D$ 区域相同但方向相反的有向曲面. 由Gauss定理，

$\iint_{S + D^{-}} \nabla f \times \nabla g \cdot d S = 0 ⟹ \iint_{S} \nabla f \times \nabla g \cdot d S = \iint_{D} \nabla f \times \nabla g \cdot d S .$
(4.4)

由题意，

$\nabla f = \frac{- 2 ( 1 + z ) ( x x ^ + y y ^ )}{( 1 + x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} + \frac{z ^}{1 + x ^{2} + y ^{2}},$
(4.5)
$\nabla g = (y + z) x^+ (z + x) y^+ (x + y) z^,$
(4.6)

因此

$原式 = \iint_{D} \frac{( - 2 x , - 2 y , 1 + x ^{2} + y ^{2} )}{( 1 + x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} \times (y, x, x + y) \cdot z^d x d y$
$= 2 \iint_{D} \frac{x ^{2} - y ^{2}}{( 1 + x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} d x d y = 0,$
(4.7)

其中最后一步利用了被积函数与积分区域 $D$ 中 $x, y$ 的交换对称性.
2.
(18-19期末 $T_{4}$ ) 设

$v = \frac{y ^{2} + z ^{2}}{r ^{3}} i^- \frac{x y}{r ^{3}} j^- \frac{x z}{r ^{3}} k^$
(4.8)

是定义在 $R^{3} \ {0}$ 上的向量场，其中 $r = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .
1. (a).
  证明： $v$ 的旋度 $\nabla \times v = 0$ .
2. (b).
  求向量场 $v$ 的势函数.
解
1. (a).
  由题意，
  
  $v = \frac{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}{r ^{3}} x^- \frac{x}{r ^{3}} (x x^+ y y^+ z z^) = \frac{x ^}{r} - \frac{x r}{r ^{3}} .$
  (4.9)
  
  由Leibniz法则，
  
  $\nabla \times v = - \frac{r ^}{r ^{2}} \times x^- \frac{r x ^ - 3 x r ^}{r ^{4}} \times r - 0 = \frac{x ^ \times r ^}{r ^{2}} - \frac{x ^ \times r ^}{r ^{2}} = 0.$
  (4.10)
2. (b).
  记势函数为 $φ (x, y, z)$ ，则
  
  $φ (x, y, z) = \int_{L} v \cdot d r = \int_{L} \frac{r d x - x d r}{r ^{2}} = \int_{L} d (\frac{x}{r}) = \frac{x}{r} + C .$
  (4.11)
3.
(18-19期末 $T_{5}$ ) 设向量场 $v = - x i^+ x y j^+ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1/4 k^$ ，曲面 $S = {x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}$ ，它的正向是外法向. 求向量场 $\nabla \times v$ 在定向曲面 $S$ 上的积分

$\iint_{S} \nabla \times v \cdot d S .$
(4.12)

解
注意到 $\nabla \cdot (\nabla \times v) = 0$ ， $S$ 为闭曲面，由Gauss定理，积分值为零.
4.
(19-20期末 $T_{10}$ ) 设函数 $f (x, y, z)$ 在区域 $Ω = {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} + z^{2} ⩽ 1}$ 上具有连续的二阶偏导数，且满足

$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2} f}{\partial z ^{2}} = x^{2} + y^{2} + z^{2},$
(4.13)

计算

$I = ∭_{Ω} (x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} + z \frac{\partial f}{\partial z}) d x d y d z .$
(4.14)

解
注意到被积函数是 $r \cdot \nabla f$ 的形式，而题设条件仅给定 $\nabla^{2} f$ . 若希望两者的导数是同阶的，则将 $\nabla^{2} f$ 配成 $■ \cdot \nabla^{2} f$ ，其中 $\nabla^{2} f$ 是 $\nabla \cdot \nabla f$ 的结果. 而 $2 r$ 是 $\nabla r^{2}$ 的结果，因此由Leibniz法则，

$\nabla \cdot (r^{2} \nabla f) = 2 r \cdot \nabla f + r^{2} \nabla^{2} f = 2 r \cdot \nabla f + r^{3} .$
(4.15)

由Gauss定理，

$I = \frac{1}{2} \iint_{r = 1} r^{2} \nabla f \cdot d S - \frac{1}{2} ∭_{Ω} r^{3} d V$
$= \frac{1}{2} \iint_{\partial Ω} \nabla f \cdot d S - \frac{1}{2} ∭_{Ω} r^{3} d V$
$= Gauss 定理 \frac{1}{2} ∭_{Ω} (r - r^{3}) d V = 2 π \int_{0}^{1} (r - r^{3}) r^{2} d r = \frac{π}{6} .$
(4.16)
5.
(20-21期末 $T_{3} (2)$ ) 设 $u (x, y)$ 在圆盘 $D : x^{2} + y^{2} ⩽ π$ 上有二阶连续偏导数，且

$\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} = sin (x^{2} + y^{2}),$
(4.17)

$n$ 为边界圆周 $\partial D$ 的单位外法向，计算曲线积分 $\oint_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial n} d s$ .

解
记 $\partial D$ 上某点 $P$ 的法向 $n = (cos θ, sin θ)$ ，则其正向切向

$τ = (cos (θ + \frac{π}{2}), sin (θ + \frac{π}{2})) = - (sin θ, cos θ),$
(4.18)

有向线元 $d s = τ d s = (d x, d y)$ ，即

$d x = - d s sin θ, d y = d s cos θ,$
(4.19)

那么

$n d s = (cos θ, sin θ) d s = (d y, - d x) .$
(4.20)

由Green定理，

$\oint_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial n} d s = \oint_{\partial D} \nabla u \cdot n d s = \oint_{\partial D} (- u_{y} d x + u_{x} d y)$
$= \iint_{D} (u_{xx} + u_{y y}) d x d y = \iint_{D} sin (x^{2} + y^{2}) d x d y$
$= 2 π \int_{0}^{π} sin r^{2} \cdot r d r = π (- cos r^{2}) 0^{π} = 2 π .$
(4.21)
6.
(20-21期末 $T_{5}$ ) 记 $v = (y^{2} + z^{2}) i^+ (z^{2} + x^{2}) j^+ (x^{2} + y^{2}) k^$ ，计算曲线积分

$I = \oint_{L} (y^{2} + z^{2}) d x + (z^{2} + x^{2}) d y + (x^{2} + y^{2}) d z,$
(4.22)

其中 $L$ 是球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 x$ 与柱面 $x^{2} + y^{2} = 2 x$ 的交线 ( $x ⩾ 0$ )，从 $z$ 轴的正向看去 $L$ 沿顺时针方向.

证明
记球面上被 $L$ 包围的区域为 $Σ$ ，由Stokes定理，

$I = \iint_{S} 2 (y - z, z - x, x - y) \cdot \frac{( x - 2 , y , z )}{2} d S = 2 \iint_{S} (z - y) d S = 2 \iint_{S} z d S$
$= 2 \iint_{S} z 1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2} d x d y = 4 \iint_{x^{2} + y^{2} ⩽ 2 x} d x d y = 4 π,$
(4.23)

其中第一行最后一个等号已利用 $S$ 关于 $y$ 坐标具有偶对称性的条件.
7.
(21-22期末 $T_{6}$ ) 设常数 $a, b$ 都是正实数，平面向量场 $v = (- y i^+ x j^) / (a^{2} x^{2} + b^{2} y^{2})$ .
1. (a).
  求 $v$ 在区域 $D_{1} = {(x, y) \in R^{2} ∣ x > 0}$ 的所有势函数.
2. (b).
  证明 $v$ 不是区域 $D_{2} = {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + y^{2} > 0}$ 上的保守（有势）场.
解
1. (a).
  对 $\forall D_{0} \subset D_{1}$ ，由于 $v$ 在 $D_{1}$ 内无奇点，由Green定理，
  
  $\int_{\partial D_{0}} v \cdot d r = \int_{\partial D_{0}} \frac{- y d x + x d y}{a ^{2} x ^{2} + b ^{2} y ^{2}} = 0,$
  (4.24)
  
  因此 $v$ 是保守场. 考虑折线段路径 $L_{0} : (1, 0) \to (x, 0) \to (x, y)$ ，积分得 $v$ 的势函数
  
  $φ (x, y) = φ (1, 0) + 0 + \int_{0}^{y} \frac{x d v}{a ^{2} x ^{2} + b ^{2} v ^{2}} = φ (1, 0) + \frac{1}{ab} arctan \frac{b y}{a x} .$
  (4.25)
2. (b).
  取正向积分路径 $L : a^{2} x^{2} + b^{2} y^{2} = 1$ ，则
  
  $\oint_{L} v \cdot d r = \oint_{L} \frac{- y d x + x d y}{a ^{2} x ^{2} + b ^{2} y ^{2}} = \oint_{L} - y d x + x d y$
  $= Green 定理 2 \iint_{D} d x d y = \frac{2 π}{ab} .$
  (4.26)
  
  而对于 $D_{2}$ 内任意不包含原点的区域 $D_{0}$ ，由第(1)问的结果， $\oint_{\partial D_{0}} v \cdot d r = 0 \neq = 2 π / ab$ . 因此 $v$ 不是 $D_{2}$ 内的保守场.
8.
(21-22期末 $T_{8}$ ) 设函数 $f (x, y, z)$ 在 $R^{3}$ 有二阶连续偏导数，并且对任一点 $P_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 及任意正数 $r > 0$ 有

$\frac{1}{4 π r ^{2}} \iint_{S} f (x, y, z) d S = f (P_{0}),$
(4.27)

其中 $S$ 是以 $P_{0}$ 为球心、 $r$ 为半径的球面. 证明： $f$ 满足Laplace方程

$Δ f = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2} f}{\partial z ^{2}} = 0.$
(4.28)

证明
参考Ch11.10的证明思路. 记球面上一点 $P = (x, y, z)$ ，则 $P_{0} P ⟶ = Δ r = r r^$ ，因此 $\frac{d f}{d r} = r^\cdot \nabla f$ . 记 $B (r)$ 为以 $P_{0}$ 为球心、半径为 $r$ 的球域，那么

$\iint_{S} \frac{\partial f}{\partial r ^} d S = \iint_{S} r^\cdot \nabla f d S = ∭_{B (r)} \nabla f \cdot d S = Gauss 定理 \iint_{B (r)} \nabla^{2} f d V$
$= \iint_{\partial B (r)} \frac{d f}{d r} d S = r^{2} \iint_{\partial B (1)} \frac{d f}{d r} d S = r^{2} \frac{d}{d r} \iint_{\partial B (1)} f d S$
$= 4 π r^{2} \frac{d}{d r} (\frac{1}{4 π r ^{2}} \iint_{\partial B (r)} f d S) = 4 π r^{2} \frac{d f ( P _{0} )}{d r} = 0,$
(4.29)

整理得

$∭_{B (r)} \nabla^{2} f d V = 0, \forall r > 0.$
(4.30)

由于 $\nabla^{2} f \in C (R^{3})$ ，因此若 $f$ 在某点 $P^{'}$ 非零，不妨设 $f (P^{'}) > 0$ ，则 $\exists ε > 0$ ，使得对 $\forall P \in U (P^{'}, ε) \subset B (r) \subset R^{3}$ ，均有 $\nabla^{2} f (P) > 0$ ，因此

$∭_{U (P^{'}, ε)} \nabla^{2} f d V > 0.$
(4.31)

这与以上结论矛盾，故要求对 $\forall P \in R^{3}$ ，均有 $\nabla^{2} f (P) = 0$ .
9.
(22-23期末 $T_{7}$ ) 设 $D$ 是由简单光滑闭曲线 $L$ 围成的区域， $f (x, y)$ 在 $D$ 上具有连续的偏导数. 记 $d = (x, y) \in D max x^{2} + y^{2}$ .
1. (a).
  证明：
  
  $\iint_{D} f (x, y) d x d y = \int_{L} x f (x, y) d y - \iint_{D} x \frac{\partial f}{\partial x} d x d y .$
  (4.32)
2. (b).
  对于 $\forall (x, y) \in L, f (x, y) = 0$ . 证明：
  
  $\iint_{D} f^{2} (x, y) d σ ⩽ d^{2} \iint_{D} [(\frac{\partial f}{\partial x})^{2} + (\frac{\partial f}{\partial y})^{2}] d σ .$
  (4.33)
证明
1. (a).
  由Green定理，
  
  $\int_{L} x f d y = \iint_{D} [f + x f_{x}] d x d y ⟹ \iint_{D} f d x d y = \int_{L} x f d y - \iint_{D} x f_{x} d x d y .$
  (4.34)
2. (b).
  分别取 $(P, Q) = (0, x f^{2})$ 和 $(- y f^{2}, 0)$ ，由Green定理，
  
  $\iint_{D} f^{2} d σ = \int_{L} x f^{2} d y - \iint_{D} 2 x f f_{x} d σ,$
  (4.35)
  $\iint_{D} f^{2} d σ = \int_{L} - y f^{2} d x - \iint_{D} 2 y f f_{y} d σ .$
  (4.36)
  
  利用 $L$ 上 $f \equiv 0$ 的条件可得
  
  $\iint_{D} f^{2} d σ = - \iint_{D} (x f_{x} + y f_{y}) f d σ ⩽ \iint_{D} (∣ x f_{x} ∣ + ∣ y f_{y} ∣) ∣ f ∣ d σ$
  $⩽ \iint_{D} x^{2} + y^{2} f_{x}^{2} + f_{y}^{2} ∣ f ∣ d σ$
  $⩽ [\iint_{D} (x^{2} + y^{2}) (f_{x}^{2} + f_{y}^{2}) d σ \cdot \iint_{D} f^{2} d σ]^{1/2},$
  (4.37)
  
  其中后两个不等号均利用了Cahchy-Schwarz不等式，整理得
  
  $\iint_{D} f^{2} d σ ⩽ \iint_{D} (x^{2} + y^{2}) (f_{x}^{2} + f_{y}^{2}) d σ ⩽ d^{2} \iint_{D} (f_{x}^{2} + f_{y}^{2}) d σ .$
  (4.38)

实际上称为Taylor级数更合适，不过将该级数在某处阶段成多项式基本亦可得Taylor展开，故不加以区别
例如标量场、矢量场、张量场，以后未指定具体场的场均认为对任意场成立
本小节不采用Einstein求和约定
行为良好即 $φ (x)$ 无穷可微，并且当 $x \to \infty$ 时， $φ (x)$ 及其所有导数都比 $1/ x^{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$ 更快地趋于零
这些性质都可以通过定义进行积分证明
即 $f (x_{0}) = 0$ 但 $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$

24春-第8次习题课（场论基础）

1场论基础

1.1 坐标变换

1. Einstein求和约定

2. Kronecker符号与Levi-Civita符号

3. 右手直角坐标系

4. 转动变换

1.2 场的微分

1. 梯度算子

2. 场的一阶导数

3. Leibniz法则

4. 链式法则

5. 场的二阶导数

6. Taylor展开1

1.3 场的积分

1. 梯度积分的基本定理

2. 散度积分的基本定理

3. 旋度积分的基本定理

1.4 正交曲线坐标系3

1. 正交曲线坐标系

2. 场的梯度

3. 正交曲线坐标系中的重要矢量公式

4. 场的散度

5. 场的旋度

6. 场的Laplace算子

1.5 Dirac-δ函数

1. 一维δ函数

2. δ函数的基本性质5

3. δ函数的形式定义与渐进行为

4. Heaviside阶跃函数

5. 三维δ函数

6∗. 平方反比矢量场

1.6 Helmholtz定理

1.7 选做练习

2作业选讲

3教材习题

4真题集萃

6. Taylor展开¹

1.4 正交曲线坐标系³

1.5 Dirac- $δ$ 函数

1. 一维 $δ$ 函数

2. $δ$ 函数的基本性质⁵

3. $δ$ 函数的形式定义与渐进行为

5. 三维 $δ$ 函数

6 $^{*}$ . 平方反比矢量场