数学分析期末复习

1期末知识点回顾

1.1 偏导数与全微分

1. 1.

   具体点偏导数的计算：${\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}|}_{M_0(x_0,y_0)}={\frac{\mathrm{d}f(x,y_0)}{\mathrm{d}x}|}_{x=x_0}$.

2. 2.

   全微分：$\Delta z=f_x^{\prime }(x_0,y_0)\Delta x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho )$，其中$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$，由此

   $$z=f(x,y)\text{在}{M}_0(x_0,y_0)\text{可微}⟺\underset{\rho \to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta z-f_x^{\prime }(x_0,y_0)\Delta x-f_y^{\prime }(x_0,y_0)\Delta y}{\rho }=0.$$
3. 3.

   链式法则.

1.2 方向导数与梯度

1. 1.

   方向导数：$\frac{\partial f}{\partial \vec{\mathbf{n}}}=\underset{\rho \to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)-f(x_0,y_0,z_0)}{\rho }$，其中

   $$\vec{\mathbf{n}}//(\Delta x,\Delta y,\Delta z),\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2+(\Delta z{)}^2}.$$
2. 2.

   梯度：$\nabla =\hat{\mathbf{x}}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{\mathbf{y}}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{\mathbf{z}}\frac{\partial }{\partial z}$.

3. 3.

   两者关系：$\frac{\partial f}{\partial \vec{\mathbf{n}}}=\nabla f\cdot \hat{\mathbf{n}}$.

1.3 空间曲线切线与法平面的构建

1. 1.

   切线的构建：对于参数式，坐标沿着曲线随参数的单调变化而变化，因此矢量场的增长率对应于各坐标分量关于参数的增长率，即切向量为各坐标对参数的导数，由此可求解曲线某点的切向量. 确定方向后结合这一点的坐标，由点斜式可唯一确定切线； 对于隐式即曲面交线表达的形式，注意到曲线分别在两个曲面上，因此其切线处于两个曲面在该点的切平面内，即两个曲面在该点的法向均与该曲线切向垂直，因此两者法向量叉乘即可得到曲线切向量，结合坐标又点斜式可唯一确定法线.

2. 2.

   法平面的构建：法平面的法向量即曲线的切向量，由点法式可确定法平面方程.

1.4 空间曲面法线与切平面的构建

1. 1.

   法线的构建：由于显式曲面$z=f(x,y)$可写为隐式曲面$F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$的形式，故放在一起讨论. 对于隐式曲面，考虑$F(x,y,z)$的等值面，由梯度的几何含义——表征函数值变化最快的方向，可确定梯度在等值面上即曲面法向，当等值为0时亦然. 结合这一点的坐标由点法式可唯一确定法线； 对于参数式曲面$\vec{\mathbf{r}}(u,v)$，设想每次固定一变量而改变另一变量，可在曲面上得到由相交曲线构成的“网格”，而由上一小节的讨论，${\vec{\mathbf{r}}}_u^{\prime },{\vec{\mathbf{r}}}_v^{\prime }$分别代表仅当$u,v$变化时得到的曲线的切向. 考虑到这两条曲线并不平行，并且法向与该点各切向均正交，因此${\vec{\mathbf{r}}}_u^{\prime }\times {\vec{\mathbf{r}}}_v^{\prime }$可得到曲面法向，由点法式可确定法平面方程.

2. 2.

   切平面的构建：切平面的法向量即曲线的切向量，由点法式可确定切平面方程.

1.5 二元Taylor公式

记$h=x-x_0,k=y-y_0$，则

其中余项

1.6 极值判断与Lagrange乘子法

1. 1.

   无条件极值：设$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$，记

   $$A=f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0),B=f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0),C=f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0),$$

   可定义Hessen矩阵$Hf(M_0)=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& C\end{array}\right)$.

   1. (1)

      $A>0$且$AC-B^2>0$，即$Hf$正定 $\Rightarrow$ $f(M_0)$极小.

   2. (2)

      $A<0$且$AC-B^2>0$，即$Hf$负定 $\Rightarrow$ $f(M_0)$极大.

   3. (3)

      $AC-B^2<0$即$Hf$非定 $\Rightarrow$ $f(M_0)$非极值.

   4. (4)

      $AC-B^2=0$ $\Rightarrow$ 结论不定.

   反之，若$f(M_0)$为极值点，则必有$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$.

2. 2.

   条件极值：引入约束条件$\phi (x,y)$，考虑Lagrange乘子法，构造函数

   $$L(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y),$$

   求解$L(x,y,\lambda )$的极值点. 这类题目通常会告知所求的极大（小）值，因此求出驻点后比较各点函数值即可. 对于更多元的情形，自变量为$x_1,\cdots ,x_n$，约束条件记为${\phi }_i(x_1,\cdots ,x_n)=0(i=1,2,\cdots ,k)$，其中$k⩽n-1$，则引入${\lambda }_i$，构造函数

   $$L(x_1,\cdots ,x_n,{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_k)=f(x_1,\cdots ,x_n)+\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{\phi }_i(x_1,\cdots ,x_i),$$

   其余操作同上.

3. 3.

   值得一提的是，以上讨论的极值可能存在的区域为全空间，若局限在闭域内讨论，则以上分析的极值点或者说可能最值点仅仅为其内部的点. 除此之外还需要将边界满足的方程代入函数$f(x_1,\cdots ,x_n)$中，单独考虑边界上的最值点. 考试中若涉及此情形，通常为二元，则代入边界后退化为一元函数求最值问题.

1.7 重积分的性质

1. 1.

   $\left|{\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma \right|⩽{\iint }_D\left|f(x,y)\right|\mathrm{d}\sigma$，等号成立当且仅当$f$在$D$上不变号.

2. 2.

   变量代换公式：记变量代换$\vec{\mathbf{x}}=(x_1,\cdots ,x_n)\to \vec{\mathbf{y}}=(y_1,\cdots ,y_n)$，则引入Jacobi矩阵$J(\vec{\mathbf{x}})=$

   $$J(\vec{\mathbf{x}})=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}\cdots \frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ ⋮⋮\\ \frac{\partial y_n}{\partial x_1}\cdots \frac{\partial y_n}{\partial x_n}\end{array}\right)\text{or}{\left(J(\vec{\mathbf{x}})\right)}_{ij}=\frac{\partial y_i}{\partial x_j}.$$

   因此Jacobi行列式$\left|\frac{\partial (y_1,\cdots ,y_n)}{\partial (x_1,\cdots ,x_n)}\right|=\left|J(\vec{\mathbf{x}})\right|$，记

   $$f(x_1,\cdots ,x_n)=g(y_1(x_1,\cdots ,x_n),\cdots ,y_n(x_1,\cdots ,x_n)),$$

   从而

   $$\iint \cdots {\int }_{{\Omega }_x}f(x_1,\cdots ,x_n)\mathrm{d}{x}_1\cdots \mathrm{d}{x}_n=\iint \cdots {\int }_{{\Omega }_y}g(y_1,\cdots ,y_n)\Vert J(\vec{\mathbf{x}})\Vert \mathrm{d}{y}_1\cdots \mathrm{d}{y}_n.$$

1. 1.

   广义极坐标变换：$\{\begin{array}{l}x=a\rho \cos \phi ,\\ y=b\rho \sin \phi ,\end{array}\Rightarrow$ $\mathrm{dd}y=ab\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi$.

2. 2.

   柱坐标：$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta ,\\ y=r\sin \theta ,\\ z=z,\end{array}$ $\Rightarrow$ $\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$.

3. 3.

   球坐标：$\{\begin{array}{l}x=r\sin \theta \cos \phi ,\\ y=r\sin \theta \sin \phi ,\\ z=r\cos \theta ,\end{array}$ $\Rightarrow$ $\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=r^2\sin \theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$.

4. 4.

   对于积分区域$\left|x\right|+\left|y\right|⩽a(a>0)$，常有换元$\{\begin{array}{l}u=x+y,\\ v=x-y,\end{array}$得到$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v$.

1.8 第一型曲线积分和曲面积分表达式的构建

1. 1.

   第一型曲线积分：关键在于弧长公式

   $$\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x{)}^2+(\mathrm{d}y{)}^2+(\mathrm{d}z{)}^2}.$$

   由于空间仅有沿曲线变化这一个自由度，因此接下来的工作是选择合适的参数表示这一自由度. 对于参数式，显然可直接选取参数$t$，则$\mathrm{d}x=x^{\prime }(t)\mathrm{d}t$，其余两变量类似，且$f(x,y,z)=f(x(t),y(t),z(t))\stackrel{\Delta }{=}g(t)$，从而将其转化成关于单变量$t$的积分； 对于交面式，在曲面方程中，凭经验选择可能使表达式简单的坐标为参数，具体来说若为多项式通常选取次数最高者为参数. 假定以$z$为参数，对曲面方程全微分后得到$\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$的方程组，常数项均正比于$\mathrm{d}z$，因此解方程可得到$\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$与$\mathrm{d}z$的关系，进而$f(x,y,z)=f(x(z),y(z),z)$，从而将其转化成关于单变量$z$的积分.

2. 2.

   第一型曲面积分：考试中通常出现显式曲面，这里仅对此进行讨论，更完成的内容参见相关章节讲义. 对于显式曲面$z=f(x,y)$其关键在于将$\mathrm{d}S$投影到$xy$平面的因子

   $$\mathrm{d}S=\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$

   这一因子的获取方式为先求解曲面任一点法向量（前已讨论），由于法向量唯一表征该处面元的取向，因此$\mathrm{d}S$与$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$的夹角即法向量$\vec{\mathbf{n}}$与$\hat{\mathbf{z}}$的夹角（或者其补角），因此

   $$\left|\cos \theta \right|=\frac{\left|\vec{\mathbf{n}}\cdot \hat{\mathbf{z}}\right|}{\left|\vec{\mathbf{n}}\right|}⟹\mathrm{d}S=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\left|\cos \theta \right|.$$

1.9 第二型曲线积分和曲面积分的计算

考试中基本只会出现闭合曲线和闭合曲面（最多需要补一个平行于某一坐标平面的平面区域），因此可放心大胆用Gauss定理和Stokes定理.

1. 1.

   Gauss定理：${\iint }_{\partial \Omega }\vec{\mathbf{v}}\cdot \mathrm{d}\vec{\mathbf{\sigma }}={\iiint }_{\Omega }(\nabla \cdot \vec{\mathbf{v}})\mathrm{d}V$.

2. 2.

   Stokes定理：${\oint }_{\partial D}\vec{\mathbf{v}}\cdot \mathrm{d}\vec{\mathbf{l}}={\iint }_D(\nabla \times \vec{\mathbf{v}})\cdot \mathrm{d}\vec{\mathbf{\sigma }}$.

3. 3.

   Green公式：${\oint }_{\partial D}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

   注

   使$\frac{\partial Q}{\partial x}=-\frac{\partial P}{\partial y}=1$时可得到面积公式，为简单起见可令$P=-y,Q=x$，则

   $$A(D)={\iint }_D\mathrm{d}\sigma =\frac{1}{2}{\oint }_D-y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y.$$

   不过坦白说这个公式多数情况下缺乏实用价值，只有对于多边形这种区域复杂但边界简单的区域计算面积时有奇效.

4. 4.

   Green第一公式：${\oint }_{L}u\frac{\partial v}{\partial \vec{\mathbf{n}}}\mathrm{d}s={\iint }_D(\nabla u\cdot \nabla v+u\Delta v)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

5. 5.

   Green第二公式：${\oint }_L\left(u\frac{\partial v}{\partial \vec{\mathbf{n}}}-v\frac{\partial u}{\partial \vec{\mathbf{n}}}\right)\mathrm{d}s={\iint }_D(u\Delta v-v\Delta u)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$. 特别地，在Green第一公式中，令$u=1$，可得到¹

   $${\oint }_L\frac{\partial u}{\partial \vec{\mathbf{n}}}\mathrm{d}s={\iint }_D\Delta u\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$
   注

   特殊情形的证明思路如下：记二维平面上曲线切向为$\hat{\mathbf{\tau }}=(\cos \theta ,\sin \theta )$，则其法向为$\hat{\mathbf{n}}=(\sin \theta ,-\cos \theta )$. 记弧元为$\mathrm{d}s$，那么

   $$\hat{\mathbf{\tau }}\mathrm{d}s=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)⟹\hat{\mathbf{n}}\mathrm{d}s=(\mathrm{d}y,-\mathrm{d}x).$$

   由方向导数的定义，

   $${\oint }_L\frac{\partial u}{\partial \hat{\mathbf{n}}}\mathrm{d}s={\oint }_L\nabla u\cdot (\mathrm{d}y,-\mathrm{d}x)={\oint }_L-\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}x+\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}y$$

   $$\stackrel{\text{Green公式}}{=}{\iint }_D\left[\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-\left(-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_D\Delta u\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

记$\vec{\mathbf{v}}=(v_1,v_2,v_3)$，坐标$\vec{\mathbf{x}}=(x_1,x_2,x_3)$，则

1.10 调和函数

1. 1.

   定义：满足$\Delta u={\nabla }^{2}u=\nabla \cdot \nabla u=0$的函数$u$.

2. 2.

   性质：

   1. (1)

      最大值和最小值只能在边界上取到，因此若最大值$=$最小值，则$u$在区域内为常数.

   2. (2)

      在某点的函数值为以该点为球心的球面上各点函数值的平均，如二维情形有

      $$f(x_0,y_0)=\frac{1}{2\pi r}{\int }_{|M{M}_0|=r}f(x,y)\mathrm{d}s,M(x,y),M_0(x_0,y_0)\in D,\{M|\left|M{M}_0\right|⩽r\}\subset D.$$

1.11 数项级数审敛法

1. 1.

   正项级数的比较判别法：对于正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$，

   $$b_n>0,\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=A⟹\{\begin{array}{l}0<A<+\infty ,\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\text{与}\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\text{同敛散},\\ A=0,\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\text{收敛时，}\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\text{也收敛},\\ A=+\infty ,\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\text{发散时，}\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\text{也发散}.\end{array}$$
2. 2.

   正项级数的根值判别法：$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{[}n]a_n=\rho ⟹\{\begin{array}{ll}\rho <1,& \text{级数收敛},\\ \rho >1,& \text{级数发散},\\ \rho =1,& \text{结论不定}.\end{array}$

3. 3.

   正项级数的积分判别法：若$f(x)$在$[1,+\infty )$上连续、非负且单调递减，则$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$与${\int }_1^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$同敛散.

4. 4.

   交错级数的Leibniz判别法：若在交错级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{a}_n$中，$\{a_n\}$非负、单调递减，且$a_n\to 0(n\to \infty )$，则该级数必收敛.

1.12 函数项级数

1. 1.

   一致收敛的判别——Weierstrass判别法：若$\left|a_n(x)\right|⩽b_n(\forall x\in I)$且数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x)$在$I$上一致收敛.

2. 2.

   当函数项级数收敛时，可定义和函数$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x)$.

   1. (1)

      $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x)$绝对收敛 $\Rightarrow$ 满足交换律、结合律、分配律.

   2. (2)

      $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x)$一致收敛 $\Rightarrow$ 满足分析性质.

3. 3.

   考试中（非压轴题）出现函数项级数判断一致收敛，基本只要求使用Weierstrass判别法，这样可证明级数绝对一致收敛，因此有如下分析性质：

   1. (1)

      $a_n(x)\in \text{C}(I)$ $\Rightarrow$ $S(x)\in \text{C}(I)$，即$\underset{x\to x_0}{\lim }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\underset{x\to x_0}{\lim }{a}_n(x)$.

   2. (2)

      $a_n(x)\in \text{R}(I)$ $\Rightarrow$ $S(x)\in \text{R}(I)$，即${\int }_a^b\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x)\mathrm{d}x=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_a^b{a}_n(x)\mathrm{d}x$.

   3. (3)

      $a_n(x)\in {\text{C}}^1(I)$ $\Rightarrow$ $S(x)\in {\text{C}}^1(I)$，即$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x)\right]=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^{\prime }(x)$.

1.13 幂级数

1. 1.

   收敛半径：$R=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$或$R=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{[}n]\left|a_n\right|$.

2. 2.

   收敛区间：$I=(-R,R)$，收敛域为收敛区间加上$x=\pm R$处的收敛点，如$(-R,R]$.

3. 3.

   $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$在$(-R,R)$内逐点且绝对收敛，且内闭一致敛².

4. 4.

   性质：在收敛区间内满足前述三个分析性质，且积分、求导后收敛半径不变.

5. 5.

   重要幂级数：

   1. (1)

      指数函数：${\mathrm{e}}^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}(-\infty <x<+\infty )$.

   2. (2)

      等比级数：$\frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }(-x{)}^n(-1<x<1)$.

6. 6.

   注意事项：

   1. (1)

      求解和函数给出最后答案时，要带上收敛域.

   2. (2)

      注意求和指标的起点，否则和函数会差一常数. 起点通常为$n=0,1$，有时也为$n=2$.

1.14 重要Taylor级数

1.15 Fourier级数

Dirichlet收敛定理：要求周期函数$f(x)$分段光滑，间断点至多为第一类间断点.

1. 1.

   以$2\pi$为周期：

   $$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)=\{\begin{array}{l}f(x),\text{连续点},\\ \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2},\text{间断点},\end{array}$$

   其中

   $$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x(n=0,1,\cdots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x(n=1,2,\cdots ).$$
2. 2.

   以$2l$为周期：

   $$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)=\{\begin{array}{l}f(x),\text{连续点},\\ \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2},\text{间断点},\end{array}$$

   其中

   $$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x(n=0,1,\cdots ),b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x(n=1,2,\cdots ).$$
3. 3.

   正余弦级数：通常将$f(x)$定义在$[0,l]$上，需要作奇延拓或偶延拓，再进行Fourier展开.

   $$\text{正弦级数：}f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin \frac{n\pi x}{l},b_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x,$$

   $$\text{余弦级数：}f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos \frac{n\pi x}{l},a_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x.$$
4. 4.

   广义展开：设有完备的标准正交³函数系$\{{\phi }_i(x)\}$，则

   $$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{\phi }_n(x)=\{\begin{array}{l}f(x),\text{连续点},\\ \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2},\text{间断点},\end{array}$$

   其中

   $$c_n=\frac{(f,{\phi }_n)}{({\phi }_n,{\phi }_n)}=\frac{1}{{\Vert {\phi }_n\Vert }^2}{\int }_0^{T}f(x){\phi }_n(x)\mathrm{d}x.$$

1.16 Parseval等式

1. 1.

   Parseval等式：若$f(x)\in L^2[-l,l]$，计算$f(x)$的Fourier系数$a_n,b_n$，则

   $$\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2)=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^l{f}^2(x)\mathrm{d}x.$$
2. 2.

   证明思路：当$f(x)\in \text{C}[-l,1]$时，将$f^2(x)$写成

   $$f^2(x)=\frac{a_0}{2}f(x)+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}f(x)\cos nx+b_{n}f(x)\sin nx],$$

   等式两端积分可证. 类似的思路可证明$\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)g(x)\mathrm{d}x$的等式.

   注

   一种几何理解是，将$f(x)$的Fourier展开写为

   $$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)$$

   $$=\sqrt{\frac{l}{2}}{a}_0\cdot \frac{1}{\sqrt{2l}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\sqrt{l}\cdot \frac{1}{\sqrt{l}}\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sqrt{l}\cdot \frac{1}{\sqrt{l}}\sin \frac{n\pi x}{l}\right).$$

   利用三角函数系的标准完备正交性，考虑内积：

   $$(f,f)=\frac{l}{2}{a}_0^2\left(\frac{1}{\sqrt{2l}},\frac{1}{\sqrt{2l}}\right)+l\sum _{m,n=1}^{\infty }{a}_m{a}_n\left(\frac{1}{\sqrt{l}}\cos \frac{m\pi x}{l},\frac{1}{\sqrt{l}}\cos \frac{n\pi x}{l}\right)$$

   $$+b_m{b}_n\left(\frac{1}{\sqrt{l}}\sin \frac{m\pi x}{l},\frac{1}{\sqrt{l}}\sin \frac{n\pi x}{l}\right)$$

   $$=\frac{l}{2}{a}_0^2+l\sum _{m,n=1}^{\infty }(a_m{a}_n+b_m{b}_n){\delta }_{mn}=\frac{l}{2}{a}_0^2+l\sum _{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2),$$

   因此

   $$\frac{1}{l}{\int }_{-l}^l{f}^2(x)\mathrm{d}x=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2).$$

   这就相当于将$f(x)$视为一个分解到无穷维空间的正交基上的向量，其与自身的内积即各分量相乘再相加.

1.17 Fourier积分

当$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上分段可微且绝对可积时，其Fourier积分为

其中

注意$f(x)$的Fourier积分表达式是从0开始积分的，而相应的系数则是从$-\infty$开始积分的.

1.18 反常积分敛散性证明

1. 1.

   $p$-积分

   1. (1)

      第一类：${\int }_a^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^p}(a>0)$在$p>1$时收敛，在$p⩽1$时发散.

   2. (2)

      第二类：${\int }_a^b\frac{\mathrm{d}x}{(x-a{)}^p}(b>a)$在$p<1$时收敛，在$p⩾1$时收敛.

   由此${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^p}$对$\forall p\in \mathbb{R}$均发散.

2. 2.

   对于含有$\ln p_n(x)$项的被积函数，有专门的处理方法，具体见后续讨论.

1.19 含参变量的常义积分的五个分析性质

设${\int }_a^{b}f(x,u)\mathrm{d}x=g(u),x\in [a,b],u\in [\alpha ,\beta ]$，闭域$D=[a,b]\times [\alpha ,\beta ]$，且$f(x,u)\in \text{C}(D)$.

1. 1.

   $g(u)\in \text{C}[\alpha ,\beta ]$，即对$\forall u_0\in [\alpha ,\beta ]$，$\underset{u\to u_0}{\lim }g(u)=g(u_0)\iff \underset{u\to u_0}{\lim }{\int }_a^{b}f(x,u)\mathrm{d}x={\int }_a^b\underset{u\to u_0}{\lim }f(x,u)\mathrm{d}x$，即积分和极限可交换.

2. 2.

   $g(u)\in \text{R}[\alpha ,\beta ]$，即${\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}u{\int }_a^{b}f(x,u)\mathrm{d}x={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{\alpha }^{\beta }f(x,u)\mathrm{d}u$.

3. 3.

   若$\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}$，则$g(u)\in {\text{C}}^1[\alpha ,\beta ]$，即$g^{\prime }(u)={\int }_a^b\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}\mathrm{d}x$.

4. 4.

   设$a(u),b(u)\in \text{C}[\alpha ,\beta ]$且$a⩽a(u)⩽b(u)⩽b$，则$g(u)={\int }_{a(u)}^{b(u)}f(x,u)\mathrm{d}x\in \text{C}[\alpha ,\beta ]$.

5. 5.

   若$a(u),b(u)\in {\text{C}}^1[\alpha ,\beta ]$且$a⩽a(u)⩽b(u)⩽b$，同时$\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}\in \text{C}(D)$，则$g(u)\in {\text{C}}^1[\alpha ,\beta ]$且

   $$g^{\prime }(u)=f(b(u),u)\cdot b^{\prime }(u)-f(a(u),u)\cdot a^{\prime }(u)+{\int }_{a(u)}^{b(u)}\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}\mathrm{d}x.$$

1.20 一致收敛的含参反常积分

1. 1.

   Weierstrass判别法：若$\exists h(x)$在$[a,+\infty )$上非负、连续，且${\int }_a^{+\infty }h(x)\mathrm{d}x$收敛； 当$x$充分大时，$\left|f(x,u)\right|⩽h(x)$对$\forall u\in [\alpha ,\beta ]$成立，则${\int }_a^{+\infty }f(x,u)\mathrm{d}x$在$[\alpha ,\beta ]$上一致收敛于$g(u)$.

   注

   $h(x)$称为$f(x,u)$的控制函数，${\int }_a^{+\infty }h(x)\mathrm{d}x$称为含参反常积分的优（强）积分.

2. 2.

   分析性质：记$g(u)={\int }_a^{+\infty }f(x,u)\mathrm{d}x,u\in [\alpha ,\beta ]$.

   1. (1)

      $g(u)\in \text{C}[\alpha ,\beta ]$，$\underset{u\to u_0}{\lim }g(u)=g(u_0)$.

   2. (2)

      $g(u)\in \text{R}[\alpha ,\beta ]$，且关于$x,u$的积分顺序可交换，即

      $${\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}u{\int }_a^{+\infty }f(x,u)\mathrm{d}x={\int }_a^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_{\alpha }^{\beta }f(x,u)\mathrm{d}u.$$
   3. (3)

      $f(x,u),\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}\in \text{C}(D),D=[a,+\infty )\times [\alpha ,\beta ]\Rightarrow g(u)\in {\text{C}}^1[\alpha ,\beta ]$，且

      $$g^{\prime }(u)={\int }_a^{+\infty }\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}\mathrm{d}x.$$
3. 3.

   重要反常积分：

   1. (1)

      Poisson积分：${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$.

   2. (2)

      Dirichlet积分：${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}$.

1.21 Euler积分

1. 1.

   $\Gamma$函数：$\Gamma (x)={\int }_0^{+\infty }{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,x\in (0,+\infty )$.

   1. (1)

      递推公式：$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)(x>0)$.

   2. (2)

      特殊值：$\Gamma (1)=1,\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }\Rightarrow \Gamma (n+1)=n!,\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi }(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$.

   3. (3)

      余元公式：$\Gamma (x)\Gamma (1-x)=\frac{\pi }{\sin \pi x},\forall x\in (0,1)$.

2. 2.

   $B$函数：$B(x,y)={\int }_0^1{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}\mathrm{d}t,x,y\in (0,+\infty {)}^2$.

   1. (1)

      对称性：$B(x,y)=B(y,x)$.

   2. (2)

      与$\Gamma$函数的关系：$B(x,y)=\frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}$.

   3. (3)

      其他形式：

      $$B(x,y)=2{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2x-1}\theta {\cos }^{2y-1}\theta \mathrm{d}\theta ={\int }_0^{+\infty }\frac{z^{y-1}\mathrm{d}z}{(1+z{)}^{x+y}}={\int }_0^{+\infty }\frac{z^{x-1}\mathrm{d}z}{(1+z{)}^{x+y}},$$

      最后一个等式来源于$B$函数的对称性. 由此三角函数积分可写为

      $${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{m}x{\cos }^{n}x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}B\left(\frac{m+1}{2},\frac{n+1}{2}\right)=\frac{1}{2}\frac{\Gamma \left(\frac{m+1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(1+\frac{m+n}{2}\right)}.$$

2答题技巧

2.1 重要的书写格式

1. 1.

   使用Gauss定理和Stokes定理说明单连域.

2. 2.

   Gauss定理补面说明平面域与正方向的选择.

3. 3.

   Fourier级数说明延拓.

4. 4.

   计算含参变量反常积分说明可导性.

2.2 曲面相截的第一类曲面积分的计算

这类题的关键在于确定被截的曲面和用于截取的曲面，通常前者作为基底用于确定曲面的形状，后者用于限制曲面范围（例如平面和球相截，平面截球面得到球锥的底，球面截平面得到圆面）. 当截取的曲面为母线平行于坐标轴的柱面时，投影会变得十分简单：假定母线平行于$z$轴，那么柱面方程限制在$z=0$上就是被截曲面在$xy$平面的投影； 当被截取的曲面为平面时，投影因子为常数，将其投影到$xy$平面也是一件非常方便的事.

2.3 第二型曲面积分的计算

1. 1.

   考试中碰到求第二类曲线（面）积分时，最优先考虑Stokes(Gauss)定理，通常给的场函数$\vec{\mathbf{v}}$能满足其旋度（散度）为零，从而极大简化计算.

2. 2.

   在计算势函数（差）或路径积分时，通常有以下三种方式，建议使用的程度递减：

   1. (1)

      有些场函数分量具有很明显的特征（如本题第2问），这时可直接看出原函数并可在答题中直接给出.

   2. (2)

      选择每次只有一个变量改变的最简单的折线路径，这时积分化为至多三个单变量积分.

   3. (3)

      通过逐次积分求解势函数，以本题第1问为例：

      $${\phi }_x^{\prime }=2x+y⟹\phi =x^2+xy+f(y,z),$$

      $${\phi }_y^{\prime }=x+4y+2z=x+f_y^{\prime }⟹f=2y^2+2yz+g(z),$$

      $${\phi }_z^{\prime }=2y-6z=2y+g^{\prime }⟹g=-3z^2+C,$$

      因此得到势函数$\phi (x,y,z)=x^2+2y^2-3z^2+xy+2yz+C$. 可见若能直接看出势函数，倒不必这么费尽心思求解； 若不能直接看出，采用折线路径的方式通常计算量也会更小一些——更何况此方法最后还有数值代入这一步. 造成这种现象的原因是取折线路径积分只利用了势函数部分信息，即某些变量取特定值时的函数形式，而求解势函数则获得了其全部信息，自然操作上会更繁琐一些.